“启发式”教学
    １９８８年以前，我们采取的是“分散教学”的常规教法。即按目前义务教材的编排形式（原现行教材与 此基本相同），将表内乘除法分为表内乘法（一）（２—６的乘法口诀），表内除法（一）（有２—６的乘法 口诀求商）与表内乘法和表内除法（７—９的乘法口诀和用口诀求商）进行教学。据我们十多年的教学实践表 明，这种“分散教学”的常规教法，对大面积提高表内乘除法口算教学的质量起了积极的促进作用。
    １９８８年以后，我们开始采取“集中教学”的非常规教法，并对两种教法作比较研究，逐步形成了有自 己特色的口算训练方法与理论。在“集中教学”中，我们对教材作了调整与组合，将表内乘除法分为表内乘法 与表内除法两块进行教学，并以表内乘法的教学为重点。即把乘法口诀集中起来教学，将乘法与除法划分开来 教学，突出重点，以“乘”促“除”。由于表内除法是从表内乘法运算的可逆联想着手进行的，它利用一句乘 法口诀逆算的正迁移来口算同一被除数的一组除法。例如，１８÷２＝？，想：二（ ）十八，商是几；１８ ÷９＝？，想（ ）九十八，商是几。在掌握同一被除数的一组除法后，同样的方法又有利于迁移到另一组除 法运算中去。因此，以乘法九九口诀作为表内乘除法运算的主体结构，以“乘”促“除”，其心理学的依据就 在于此。我们近五年来的研究表明：按“分散教学”形式进行表内乘除法教学约需６０课时，而按“集中教学 ”形式进行教学只需３５课时，大大节约了教学时间，且又可进一步提高表内乘除法口算教学的质量。
    在表内乘法的教学中，较为普遍的教法是：根据乘法算式，由教师把乘法口诀编写出来，再让学生反复读 ，仅从现象上揭示了编口诀的规律，割裂了乘法意义与编口诀规律的内在联系，加重了学生记忆的负担，应该 说这是“注入式”的教学。
    我们坚持采用“启发式”教学，从实质上揭示编口诀的规律。例如，根据６×３＝１８编口诀，先让学生 思考：“这个算式表示什么意思？”然后告诉学生：“为了很快地记住这个算式的结果，我们来编句口诀，因 为这个算式表示‘三个六相加得十八’，所以它可简化为‘三个六，十八’，再简化一点，就是‘三六十八’ 。”这样揭示，把乘法算式的意义与编口诀的规律有机结合起来，有利于口诀的记忆和运用。在教学乘法口诀 前，我们预先在每个教室里挂出一张乘法口诀表（未学部分用纸盖住，给每个学生发一张空白的乘法口诀表。 教师教一组口诀，揭开一组；学生学一组口诀，填写一组；激发了学生求知欲，并使学生较快地对口诀表形成 完整的认识。在教学２—４的乘法口诀时，我们重点使学生理解口诀的来源和推导方法，组织学生讨论各组口 诀的编排特点，如每组口诀句数的特点，每组口诀中被乘数、乘数、积变化的特点，然后引导学生总结口诀的 编写方法。在教学５—９的乘法口诀时，开始逐步放手让学生自编乘法口诀。这样，不仅节省了教学时间，又 有助于理解和记忆乘法口诀，并调动了学生智力活动的积极性和主动性。
    二、针对口算能力形成的心理特征组织练习
    学生表内乘除法口算能力形成的心理过程，可以分为三个阶段。第一阶段是能正确地以口诀为中介抽象地 进行口算，能按照口算方法一步一步清晰地进行思考。口算的准确度，联想思考方法的清晰度，是这个阶段口 算能力的主要特征。第二阶段是降低意识口诀的清晰度，即减少想口诀所用的时间，提高口算的速度。能否简 缩联想，提高口算速度，是这个阶段口算能力的主要特征。第三阶段是不用意识到口诀口算，使口算自动化。 学生感知算式后，不再想口诀，就立即说出或写出得数。不用意识到口诀口算，是这个阶段口算能力的主要特 征。
    当学生的口算能力处于第一阶段时，口算练习不宜多，口算速度要放慢，以确保口算的准确度，以及口算 思考过程的清晰度。可多采用一些口算口答的形式，多让学生讲讲口算思考的过程，务必使每个学生意识到算 什么，怎么算以及为什么这么算。只有让学生有了对口算方法清晰的联想，才能为形成口算能力打下基础。
    当学生的口算能力处于第二阶段时，应适当增加口算练习量，逐步提出限量口算的要求，并针对错误频率 高的算式进行重点练习。可多采用一些口算笔答的形式，多采用如听算、口算表、口算练习册等形式，还可以 让每个学生自制表内乘除法口算卡片，尽可能使人人在课内都有较多的练习机会，逐步使学生建立起算式与得 数之间的直接联系。
    当学生的口算能力处于第三阶段的前期时，这是从意识到口诀口算进入到不用意识到口诀口算的关键时期 。这个时期口算的练习形式、口算的练习量、口算的练习次数、练习的时间等设计至关重要。我们采取的“短 期集中训练”的方法（本文第三单元将作具体介绍）极为有效，它可使每一个学生都较快地达到口算自动化的 程度。在这一阶段的后期，只需坚持每天一两分钟的口算基本训练，或针对遗忘先快后慢的规律，采用分布练 习法，先是隔日练习，再是隔周练习等等，直至学习多位数乘除法。这样遗忘可以减少，已形成的口算能力也 得到了巩固。
    三、消除口算能力形成中“高原现象”的实验
    我们在长期的教学实践中发现：表内乘除法单元结束时，学生的口算能力基本上都能进入第二阶段，各班 的口算口答平均水平在每分钟２０题左右，口算笔答的平均水平在１７题左右。但此后相当长的一段时间内， 几乎大部分班级的口算水平提高不快，甚至在期末结束时，较多学生的口算能力也未能进入熟练阶段，未能实 现口算的自动化，出现了教学心理学中所谓的“高原现象”。怎样消除表内乘除法口算能力形成中的“高原现 象”？我们的研究表明：应该实施“短期集中训练”的方法。“短期集中训练”，是指在短期内集中一定的时 间，设计一定量的口算练习，以完成对学生口算训练的强化过程。下面是１９９４年的实验概况：
    实验前，我们预先测定了四个实验班（对教材作调整组合，采取“集中教学”形式）和五个对照班（忠实 于义务教材，采取“分散教学”形式）学完表内乘除法单元以后的口算能力，证实各班学生相应的口算能力均 已进入“比较熟练”的层次，且实验班与对照班的口算能力无显著的差异（Ｐ＞０．０５）。
    实验中，对照班每节课前让学生口算笔答２０题，课外练习４０题，均不提口算时间的要求，并按此练习 方式运作十二次，做到与实验班的练习题量相等。实验班则实施“短期集中训练”的方法，即采用限时练习与 不限时练习交替，少量练习与多量练习相结合的方法。每节课前让学生限时二分内完成印有１２０题口算题的 练习卷。其中，表内乘法占４５％，表内除法占４５％，２０以内加减法占１０％（主要是为了克服学生消极 思维定势而安排的）。限时二分的练习教师批改，采集数据后，再将练习卷发回给学生，让他们在课外用不限 时的方式做完剩下的口算题。按此练习方式运作六次后，非常显著地提高了学生表内乘除法口算笔答的能力， 见表１。两个月之后进行的后效测试表明：虽然实验班学生的口算能力略有下降，但与对照班的差异仍然十分 显著，见表２。
    表１ 短期集中练习前后的口算成绩比较
    人数 Ｘ Ｓ Ｚ 限时二 训练前 ２１２ ３６．２ １０．７ 分的口 一天 ２１．５９… 算 训练六天后 ２１５ ５９．４ １１．５ 限时四 训练前 ２１２ ７４．８ １９．３ 分口算 一天 １３．６６… １００题 训练六天后 ２１５ ９５．７ １１．２
    我们认为，限时（以二分左右为宜）少量口算的作用是：让学生尽量压缩、简化思维的中间环节，充分发 挥口算的速度。时间过长，则不易达到上述目的。不限时大量口算（即保证绝大部分学生有足够的时间进行１ ００题左右的口算）的作用是：提高学生的口算的熟练程度，培养学生良好的口算习惯。而习题量过少，则不 能使学生大脑皮层的相应区域得到足够的刺激。
    表２ 实验班与对照班的口算成绩比较
    人数 Ｘ Ｓ Ｚ 限时二 实验班 ２１５ ５２．４ １２．０ 分的口 ５．１４… 算 对照班 ２４３ ４６．１ １４．２ 限时四 实验班 ２１５ ９２．４ １３．５ 分口算 ２．７３… １００题 对照班 ２４３ ８８．６ １６．３
    四、实施分层成功教学
    口算教学过程，在本质上是一种技能形成的过程，也一种认识的过程。这种过程只有以明确的具体的目标 作为导向，才能顺利、有效地进行。否则，师生双方就象在黑暗中走路，只能摸索前进。因此，我们针对以往 口算教学目标的抽象性与操作性的矛盾，以及它的高度统一性与学生发展的差异性的矛盾突出的情况，实施了 分层成功教学。
    首先，我们从学生原有的学习基础出发，对不同层次的学生提出不同的教学目标，根据“上不封顶，下要 保底”的原则，使高层学生在达到高层目标（即优秀标准）之后，还可向更高的目标冲击；中层学生在达到中 层目标（即良好标准）之后，还可向高层目标挺进；低层学生在达到基本目标（即及格标准）之后，还允许他 们通过多次练习逐步达到中层或高层目标。我们实施的分层教学目标（见表３）的这种层次性与激励性，既可 使高层学生腾飞，也能使低层学生起跳，使每个学生都体验到成功的愉悦。一般经一周左右的口算训练，达到 高层目标的人数将迅速增加，达到基本目标的人数将迅速减少，并最终消失。例如，１９９４年我校的２１５ 名二年级学生在经过十多次分层成功教学的“达标训练”后，表内乘法口算口答水平的优秀率就由原来的１３ ．２％提高到９４．３％，其余５．７％的学生也达到了良好标准。
    表３ 表内乘除法口算能力的量化标准 项目 口算口答（限时一分） 口算笔答（限时一分）
    及格标准 良好标准 优秀标准 及格标准 良好标准 优秀标准 表内乘１２—１９ ２０—２９ ３０及 １０—１７ １８—２４ ２５及 除法 以上 以上
    其次，我们及时发挥分层教学目标的反馈功能，使每一个学生明确下一步努力的方向与行动目标，逐步引 导他们学会正确评价自己的学习成绩。例如，在“短期集中训练”时，每张练习卷的开始都印有这样的一段话 ：“该生（）分内算对（ ）题，比上一次（ ），已达到（ ）标准，希望进一步努力，争取更好成绩。” 括号内由教师根据学生的练习情况，并对照口算能力的量化标准填写。每次练习后，引导学生从自己是否达到 预期标准，离预期标准相差多少，这次练习是进步还是退步等几方面，对自己的学习作出正确的评价。这样评 价，提供的反馈信息多，产生的动机强度大，口算教学的效果十分显著。我们曾在１９９２年的表内乘除法“ 短期集中训练”实验中，让甲、乙两班学生所做的每张练习卷上都打印如上述的“一段话”，并注重及时反馈 ，而让丙、丁两班学生所做的每张练习卷上不打印这“一段话”，仅作一般性的批改。经过这样的六次“集训 ”之后，甲、乙两班学生的口算笔答成绩十分显著地优于丙、丁两班（Ｐ＜０．０１）。这表明在分层成功教 学中，多种反馈方式时的及时和综合运用，是大幅度提高学生口算成绩的十分重要的原因。
    五、利用回归分析法进行预测和控制
    为了探求表内乘除法“短期集中训练”的合理次数，我们曾从六个实验班中排出高、中、低三层学生各一 个，对他们进行了长达２０次的“集训”。下表就是这１８个学生２０次“集训”的平均成绩。
    表４ １８个学生集中训练次数与相应的口算平均成绩 训练次数 限时一分钟做对题数 训练次数 限时一分钟做对题数 （Ｘ） （Ｙ） （Ｘ） （Ｙ）
    １ １８．１ １１ ３３．１
    ２ ２０．０ １２ ３２．８
    ３ ２１．５ １３ ３５．３
    ４ ２３．３ １４ ３４．１
    ５ ２５．５ １５ ３５．７
    ６ ２７．９ １６ ３５．４
    ７ ３０．１ １７ ３５．８
    ８ ３２．９ １８ ３６．９
    ９ ３１．２ １９ ３７．２
    １０ ３２．８ ２０ ３６．８
    在表４中可以看出学生在１—８次集中训练时进步较快，在９—２０次时进步缓慢，有时还有下降。我们 认为经过６次左右的集训后，绝大部分学生口算笔答的能力都达到２５题或以上的水平。个别学生仍有困难， 可加强个别训练，不宜搞一刀切。
    根据表４中的数据，我们尝试用回归分析法建立集中训练次数与相应的口算能力关系的数学表达式，以预 测和控制实验中的重要变量。
    作散点图后，从图中看出可以直接用线性回归一试：
    （附图 {图}）
    这就得到了回归直线方程ｙ＝２０．８５＋０．９５ｘ，经相关性检验，证实直线回归是十分显著的（Ｐ ＜０．０１）。
    建立回归方程的目的是预测和控制。例如，某班学生进行了６次表内乘除法的集中训练，即ｘ［，０］＝ ６，则根据上面的方程可以算出：ｙ［，０］＝ａ＋ｂ，ｘ［，０］≈２６．５５，即每分钟大约可以算２７ 题。如果还要知道预测的精度和范围，可以查（ｎ－２）个自由度的ｔ分布临界值表，计算出区间半径ｄ。
    （附图 {图}）
    也就是说，如果某班学生进行了６次集中训练，那么他们限时一分的口算笔答平均成绩将在２３题至３１ 题之间，置信度是９０％。例如，１９９４年我校的四个实验班的限时一分的口算平均成绩基本上都落在这个 预测范围之内。
    至于控制问题，实际上是预报问题的反问题，即给出了对ｙ［，０］的要求，反过去找满足这种要求的的 相应的ｘ［，０］的范围。例如，我们希望学生能达到每分口算２５题的水平，那利用上面的回归方程，通过 相应的计算，就可以知道大约需要进行４次左右的集中训练。这就可以避免盲目地增加训练次数，加重学生的 负担了。
    六、口算能力与其它数学能力的相关性分析
    我们在以往的数学教学中发现，有些口算能力特别强的学生，他们的其它数学能力（如概括能力、推理能 力、解答应用题的能力等，以下简称其他数学能力）并不特别强，甚至比较弱。例如，我校曾在１９８３年作 过的表内乘除口算能力与其它数学能力的相关性研究中得出“口算能力特别的学生，他们的口算测试成绩与其 它数学能力测试成绩呈较低相关现象”的结论。
    自１９８８年以后，我校在表内乘除法口算教学中努力把意义、口算、应用题有机结合起来教学，使这三 部分相互渗透，互促迁移，发挥整体功能，优化学生的认知结构，突出能力与智力的培养。我们从本校与某校 的二年级学生中各选出３６名表内乘除法口算能力最强的学生进行了数学能力测试，结果我校的３６名学生的 口算测试成绩与其它数学能力测试成绩的相关系数ｒ［，１］＝０．６８（Ｐ＜０．０１），某校的３６名学 生两者的相关系数ｒ［，２］＝０．３２（Ｐ＜０．０１）。两校学生的两者相关系数ｒ［，１］与ｒ［，２ ］之间存在着显著差异（Ｐ＜０．０５）。测试结果表明：我校学生的口算能力与其它数学能力的相关程度较 某校为高，并且我校学生在概括能力、推理能力、解答应用题能力等方面均明显优于某校。
    从表内乘除法口算能力与其它数学能力的相关性分析中，给我们的启示是：
    第一，学生的口算能力的潜力是很大的，训练与不训练大不一样，训练得合理与不合理更大不一样，但不 能片面追求口算能力。否则，会使教学精力过多地集中在口算上，势必削弱其它数学能力的培养。
    第二，对于口算能力同样强的学生来说，不仅他们为此所用的时间不同，而且他们的其它数学能力也不同 。关键是需要改进口算教学的方法，在塑造学生的认知结构与发展他们的数学思维上下功夫。
    第三，在口算教学中必须研究学生如何学的心理活动，在学生发展可能性的基础上，改革教材与教法，努 力体现教学要主动促进学生发展的现代教学观，从而加速学生智能的均衡发展。
    参考资料：
    潘菽主编：《教育心理学》，人民教育出版社，１９８０年版。
    Ｂ．Ａ．克鲁切茨基：《中小学数学能力心理学》，教育科学出版社，１９８４年版。
    赵裕春主编：《小学生数学能力的调查与评价（低年级）》，教育科学出版社，１９８７年版

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